DB/DC*EC/EA*FA/FB

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{CA}{CB}=1\)

DB/DC=AB/AC

EC/EA=BC/BA

FA/FB=CA/CB

=>DB/DC*EC/EA*FA/FB=(AB*BC*AC)/(AC*BA*CB)=1

Áp dụng t/c đường phân giác, ta có:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)   ( 1 )

\(\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}\)  ( 2 )

\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{FA}{FB}\) ( 3 )

Nhân từng vế (1);(2);(3) ta được:

\(\dfrac{AB}{AC}\times\dfrac{BC}{BA}\times\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{BD}{CD}\times\dfrac{EC}{EA}\times\dfrac{FA}{FB}\)

\(\Leftrightarrow1=\dfrac{BD}{CD}\times\dfrac{EC}{EA}\times\dfrac{FA}{FB}\)

 là đường phân giác ˆB→BCBA=ECEAB^→BCBA=ECEA

 là đường phân giác →DBDC.ECEA.FAFB=ABAC.BCBA.CACB=AB.BC.CAAC.BA.CB=1

#)Giải :

Vì AD,BE,CF là ba đường phân giác

\(\Rightarrow\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB};\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC};\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\)

\(\Rightarrow\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=\frac{CA.AB.BC}{CB.AC.BA}=1\left(đpcm\right)\)

Tham khảo tại :

Câu hỏi của Phạm Hoàng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

< https://h.vn/hoi-dap/question/555217.html >

~ chúc bn học tốt~

theo ý bạn nha

áp dụng định lý phân giác ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\\\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\\\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: 

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)\)

\(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\left(2\right)\)

\(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{AE}\cdot\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{AC\cdot BA\cdot CB}=1\)

=> ĐPCM

Nguồn: SGK

AD,BE,CF không là các đường phân giác vẫn đúng,miễn sao chúng đồng quy là OK ! 

Đây thực chất là chứng minh định lý Xê - va, không chỉ áp dụng cho ba đường phân giác, mà còn là ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường đồng quy xuất phát từ ba đỉnh,...

Bạn tham khảo thêm cách chứng minh ở bài 206a) sách NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIẾN TOÁN 8 của tác giả VŨ HỮU BÌNH nhé!